Identidades básicas del álgebra booleana

Identidades básicas del álgebra booleana

Existen 17 diferentes identidades del algebra booleana las cuales nos ayudan a simplificar las ecuaciones o diagramas booleanas.

Nueve de estas identidades muestran una relacion entre una variable X, su complemento X’ y las constantes binarias 0 y 1. Cinco mas son similares al algebra ordinaria y otras tres son muy utiles para la manipulacion de expresiones booleanas aunque no tenga que ver con el algebra ordinaria.

Dentro de estas identidades tenemos dualidad, esto se obtiene simplemente intercambiando operaciones OR y AND y reemplazando unos por ceros.

Las leyes conmutativas indican que el orden en el cual se escriben las variables no afectara el resultado cuando se utilicen las operaciones OR y AND.

Las leyes asociativas postulan que el resultado de formar una operacion entre tres variables es independiente del orden que se siga y, por lo tanto, pueden eliminarse sin excepcion todos los paréntesis.

También se suele utilizar el teorema de DeMorgan el cual es muy importante ya que se aplica para obtener el complemento de una expresion. El teorema de DeMorgan se puede verificar por medio de tablas de verdad que asignan todos los valores binarios posibles a X y Y. 

Manipulación algebraica

F = X'YZ + X'YZ' + XZ

Por la identidad 14 - X(Y+Z)=XY + XZ

= X’Y(Z+Z’) + XZ

Por la identidad 7 - X+X’=1

= X’Y*1 + XZ

Por la identidad 2 - X*1=X

= X’Y + XZ

Complemento de una función

El complemento de una funcion, F, se obtiene a partir de un intercambio de unos por ceros y ceros por unos en los valores de F de la tabla de verdad. El complemento de una funcion puede determinarse en forma algebraica aplicando el teorema DeMorgan. La forma generalizada de este teorema senala que el complemento de una expresion se obtiene intercambiando operaciones AND y OR y complementando cada variable.

Ejemplo:

Determínese el complemento de las dos funciones que siguen:

F1 = X'YZ' + X'Y'Z F2 = X(Y'Z' + YZ)

Aplicando el teorema de DeMorgan tantas veces como sea necesario, los complementos se obtienen de la manera siguiente:

F1 = (X'YZ' + X'Y'Z )= (X'YZ') · (X'Y'Z))' = (X + Y' + Z)(X + Y + Z')

F2 = (X(Y'Z' + YZ))' = X' + (Y'Z' + YZ)' = X' + ((Y'Z')' · (YZ)') = X' + (Y + Z)(Y' + Z')

Un metodo simple para determinar el complemento de una funcion consiste en calcular el dual de la funcion y complementar cada literal. Este metodo sigue del teorema de DeMorgan generalizado. Recuerdese que el dual de una expresion se obtiene intercambiando las operaciones AND y OR y los unos y ceros. 

EJEMPLO:
F=X'YZ+X'YZ'+XZ

Identidad 14 =X(Y+Z)=XY+XZ
=X'Y(Z+Z')+XZ

Identidad 7 = X+X`=1
= X'Y(1)+XZ

Identidad 2 = X*1=X
=X'Y+XZ